Gedanken zur Wirbelhaftigkeit ( Vortizität oder Vorticity) von Bernold Feuerstein

Auslöser für diesen Essay waren vielzählige Diskussionen im Umfeld der „Wetterzentrale“. Ein Ausgangspunkt war die Frage eines Bremer Forumaners, wie es denn zu verstehen sei, daß bei einem mit der Höhe rechts drehenden Wind eine Mesozyklone entstehe. Trägt man nämlich die Windvektoren aus verschiedenen Höhenschichten in ein Polardiagramm (sog. Hodogramm) ein, so ergibt sich eine nach außen im Uhrzeigersinn (also antizyklonal) verlaufende Spirale, der Hodograph (grüne Linie):

Das, was hier aber einen Drehsinn suggeriert, ist zunächst noch kein solcher, denn die Windfelder sind alle homogen in der jeweiligen Ebene und tragen zudem keine Vertikalkomponenten. Für zwei ausgewählte Höhenschichten (rot und blau) sehen die Vektorfelder vielmehr folgendermaßen aus:

Das ganze wirkt nun doch etwas monoton und langweilig und man erkennt, warum es ausreicht, ein einzelnes Vektorpaar (bzw. eine Vektorschar bei vielen Höhenschichten) zu betrachten. Wie aber kommt nun der Wirbel in den Sturm? Und – wo sind eigentlich die Wirbel? Um diese Frage näher zu beleuchten, wenden wir uns im Folgenden erst einmal den Geheimnissen des Drehimpulses und gescherten Strömungen zu.

Wir betrachten eine Strömung, in welcher sich die Geschwindigkeitsvektoren entlang einer Koordinate (x), die senkrecht zur Strömungsrichtung zeige, dem Betrage nach ändern. Beispielhaft sind zwei Vektoren v₁ und v₂ in der folgenden Abbildung für zwei um eine Strecke Δx verschobene Orte herausgegriffen. Für die weitere Behandlung ist nur die Differenz Δv der Vektoren interessant, genauer der Geschwindigkeitsgradient Δv/Δx.

An einem Beobachter, der sich mit v₁ mit der Strömung bewegt, strömen nun Teilchen (der Masse m, die aber hier nicht weiter wichtig ist) mit der Geschwindigkeit Δv im Abstand Δx vorbei. Diese tragen einen Drehimpuls L = m * Δv * Δx, was zunächst etwas verwundern mag, da es sich um eine lineare Bewegung handelt und sich gar nichts dreht. Anschaulicher wird dies, wenn man ein vorbeifahrendes Objekt verfolgt – man dreht den Kopf. Auch wenn sich hier der Abstand zu dem Objekt laufend ändert, hat man hier doch eine Änderung des Winkels. Der Drehimpuls eines Teilchens, das sich im Abstand b mit der Geschwindigkeit v vorbei bewegt, ist nun identisch zu dem eines Teilchens gleicher Masse, welches mit v auf einem Kreis mit Radius r = b rotiert.

Denken wir uns nun folgendes Modell der gescherten Strömung als zwei Lamellen im Abstand Δx, die sich tangential mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen und einer Art Rollenlager dazwischen. Die Rollen rotieren und haben einen Drehimpuls, welcher proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz und zum Abstand ist.

In einem Fluid kann eine zunächst laminare Strömung in eine von Wirbeln durchsetzte turbulente Strömung umschlagen. Der relevante kritische Parameter hierfür ist die Reynoldszahl, welche das Verhältnis von Geschwindigkeit zur Viskosität (innere Reibung) , multipliziert mit einer für das betrachtete System charakteristischen Längenskala ist. Die folgenden Bilder veranschaulichen das Umschlagen einer laminaren in eine turbulente Strömung. Die roten Vektorpfeile deuten den Geschwindigkeitsgradienten quer zur Strömung an.

Bislang haben wir nur reine Geschwindigkeitsscherung betrachtet. Für den allgemeineren Fall, der Richtungsscherung mit einschließt, ist es zweckmäßig, ein differentielles Maß für den Drehimpuls einer dünnen Schicht in einer gescherten Strömung zu verwenden, die sogenannte Wirbelhaftigkeit oder Vortizität (engl. Vorticity) eines Strömungsfeldes.Der Fall der reinen Geschwindigkeitsscherung stellt sich dann folgendermaßen dar; bezogen auf das Anwendungsbeispiel einer Mesozyklone wird hier eine vertikale Scherung angenommen, d.h. die Geschwindigkeit nimmt nach oben (z-Richtung) zu, und zwar innerhalb einer kleinen Höhenschicht Δz von v₁ auf v₂:

Die Differenz zu einem mittleren Windvektor (schwarz) weist oben nach rechts und unten nach links (kleine blaue bzw. rote Pfeile), was einem Drehimpuls entspricht. Der Drehsinn ist durch den grünen Pfeil angegeben. Die Vortizität als differentielle Änderung der Windvektoren ist selbst wiederum ein Vektor dessen Betrag durch den vertikalen Geschwindigkeitsgradienten und dessen Richtung durch die gedachte Drehachse gegeben ist. Im Fall reiner vertikaler Geschwindigkeitsscherung ist der Vortizitätsvektor horizontal und steht quer (crosswise vorticity) zum mittleren Windvektor (grüner Pfeil in der Draufsicht). Der umgekehrte Fall liegt bei reiner vertikaler Richtungsscherung vor - hier ändert sich nur die Richtung, nicht der Betrag der Windvektoren mit der Höhe. Im Ergebnis steht hier die Vortizität (Drehsinn) parallel (streamwise vorticity) zur mittleren Geschwindigkeit:

Der allgemeine Fall ist nun eine Kombination von Geschwindigkeits- und Richtungsscherung. Hier steht die Vortizität in einem bestimmten Winkel zur mittleren Geschwindigkeit, je nach dem Verhältnis der beiden Scherungskomponenten. Dabei stammt die (relativ zur Richtung des mittleren Windvektors) longitudinale (||) Komponente (streamwise vorticity) von der Richtungsscherung und die transversale (⊥) Komponente (crosswise vorticity) von der Geschwindigkeitscherung:

Für die Bildung von Mesozyklonen ist nun die longitudinale Komponente, also die parallel zur Strömung, von besonderem Interesse. Wird durch Konvektion ein Luftpaket zunächst zu der Zelle advehiert und dann gehoben, so wird eine zunächst horizontale, stromparallele Drehachse in die Vertikale gekippt (a). Bei reiner Geschwindigkeitsscherung aber fehlt die Longitudinalkomponente und der Vortizitätsvektor bleibt horizontal (b):

Aus der Abbildung wird auch klar, warum eine Rechtsdrehung des Windes mit der Höhe letztlich zu einer zyklonalen Rotation des Aufwindes in der Zelle führt. Die für die Rotation um eine vertikale Achse wesentliche Longitudinalkomponente der Vortizität ist die Projektion auf den mittleren Windvektor, mathematisch ausgedrückt durch das Skalarprodukt beider Vektoren, die sog. Helizität (Schraubenhaftigkeit). Diese ist anschaulich durch die Fläche zwischen den beiden Windvektoren (gelb) gegeben, welche proportional zur Helizität ist. Bei reiner Geschwindigkeitsscherung ist die Helizität gleich null. Zur Helizität trägt also nur die streamwise vorticity bei.

Die gesamte über die Höhe integrierte Helizität läßt sich sehr anschaulich im eingangs erwähnten Hodogramm darstellen (gelbe Fläche):

Hierbei handelt es sich aber streng genommen um die Helizität bezüglich des Erdbodens. Für die Dynamik einer Gewitters ist aber die Helizität relativ zur Zelle entscheidender. Hierzu muß die Eigenbewegung der Zelle (roter Pfeil) berücksichtigt werden und man erhält die sog. „storm-relative helicity“ (blaue Fläche in Abb. 12 bzw. grüne Fläche in Abb. 13):

Folgt eine Zelle (wie im obigen Fall) mehr dem Höhenwind, so kann die Helizität relativ zur Zelle geringer ausfallen als die relativ zum Boden. Schert die Zelle aber stark nach rechts aus, so kann die bodenbezogene Helizität noch übertroffen werden. Anschaulich bewegt sich die Zelle in Richtung der stärksten Richtungsscherung und „sammelt“ entsprechend effizienter longitudinale Vortizität ein:

(Anmerkung : Die roten Pfeile in den letzten beiden Skizzen sind willkürlich gezeichnet - die exakte Zugrichtung eines Gewitters lässt sich nur anhand eines Radars detektieren und nicht aus dem Hodogramm ableiten)